Question

已知圆：，直线被圆所截得的弦的中点为P（5，3）．（1）求直线的方程；（2）若直线：与圆相交于两个不同的点，求b的取值范围.

Answer 1

（1）     （2）

（I）根据圆心CP与半径垂直，可求出直线l₁的斜率，进而得到点斜式方程，再化成一般式即可.
（II）根据直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离小于半径得到关于b的不等式，从而解出b的取值范围.
（1）由，得，
∴圆心，半径为3.…………………2分
由垂径定理知直线直线，
直线的斜率，故直线的斜率，……………5分
∴直线的方程为，即.…………………6分
（2）解法1：由题意知方程组有两组解，由方程组消去得
，该方程应有两个不同的解，…………………9分
∴，化简得，………………10分
由解得
∴的解为.…………………………12分
故b的取值范围是.…………………………13分
解法2：同（1）有圆心，半径为3.…………………9分
由题意知，圆心到直线：的距离小于圆的半径，即
，即，………………………11分
解得，………………………13分
故b的取值范围是.…………………13分