【题目】如图1,在四边形中,
,
,
,
,
,
是
上的点,
,
为
的中点.将
沿
折起到
的位置,使得
,如图2.
(1)求证:平面平面
;
(2)点在线段
上,当直线
与平面
所成角的正弦值为
时,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)计算出、
、
的长,利用勾股定理证明出
,
,利用线面垂直的判定定理可证明出
平面
,再利用面面垂直的判定定理可证得结论;
(2)以点为坐标原点,
、
所在直线为
轴、
轴建立空间直角坐标系,设点
,求出平面
的一个法向量的坐标,利用空间向量法结合线面角的正弦值可求得
的值,然后利用空间向量法可求得二面角
的余弦值.
(1)因为,
,所以
.
又,所以
,
.
在中,
,
,
,
,所以
.
在中,
,
,
,所以
,所以
.
因为平面
,
平面
,
,所以
平面
.
又平面
,所以平面
平面
;
(2)以点为坐标原点,
、
所在直线为
轴、
轴建立空间直角坐标系如图所示,
则、
、
,设
,其中
,
则,
,
.
设平面的一个法向量为
,
由,得
,
令,则
,
,所以
,
所以,
化简得,解得
或
(舍),
所以,
.
设平面的一个法向量为
,
由,得
,
令,则
,
,所以
,
所以.
由图可知二面角为锐二面角,
所以当直线与平面
所成角的正弦值为
时,二面角
的余弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,①已知点
,直线
:
,动点
满足到点
的距离与到直线
的距离之比为
;②已知圆
的方程为
,直线
为圆
的切线,记点
到直线
的距离分别为
,动点
满足
;③点
,
分别在
轴,
轴上运动,且
,动点
满足
.
(1)在①,②,③这三个条件中任选一个,求动点的轨迹方程;
(2)记(1)中的轨迹为,经过点
的直线
交
于
,
两点,若线段
的垂直平分线与
轴相交于点
,求点
纵坐标的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线的焦点为
,
是抛物线的准线与
轴的交点,直线
经过焦点
且与抛物线相交于
、
两点,直线
、
分别交
轴于
、
两点,记
、
的面积分别为
、
.
(1)求证:;
(2)若恒成立,求实数
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知动圆P经过点,并且与圆
相切.
(Ⅰ)求圆心P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)O是坐标原点,过点的直线
与C交于A,B两点,在C上是否存在点Q,使得四边形
是平行四边形?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直角梯形ABCD中,,
,
,将直角梯形ABCD(及其内部)以AB所在直线为轴顺时针旋转90°,形成如图所示的几何体,其中M为
的中点.
(1)求证:;
(2)求异面直线BM与EF所成角的大小.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某工厂为提高生产效率,需引进一条新的生产线投入生产,现有两条生产线可供选择,生产线①:有A,B两道独立运行的生产工序,且两道工序出现故障的概率依次是0.01,0.05.若两道工序都没有出现故障,则生产成本为16万元;若A工序出现故障,则生产成本增加2万元;若B工序出现故障,则生产成本增加3万元;若A,B两道工序都出现故障,则生产成本增加5万元.生产线②:有a,b两道独立运行的生产工序,且两道工序出现故障的概率依次是0.04,0.02.若两道工序都没有出现故障,则生产成本为15万元;若a工序出现故障,则生产成本增加8万元;若b工序出现故障,则生产成本增加5万元;若a,b两道工序都出现故障,则生产成本增加13万元.
(1)若选择生产线②,求生产成本恰好为20万元的概率;
(2)为最大限度节约生产成本,你会给工厂建议选择哪条生产线?请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为调查某地区被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位被隔离者,结果如下:
性别 是否需要 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
(1)估计该地区被隔离者中,需要社区非医护人员提供帮助的被隔离者的比例;
(2)能否有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助与性别有关?
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