Question

【题目】已知动圆P经过点，并且与圆相切.

（Ⅰ）求圆心P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）O是坐标原点，过点的直线与C交于A，B两点，在C上是否存在点Q，使得四边形是平行四边形？

Answer 1

【答案】(1) ；

(2) 直线为或时，椭圆C上存在点Q，否则不存在.

【解析】

(1) 由椭圆的定义可得，P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，进而求出方程.

(2) 假设存在，根据平行四边形已知三个点坐标，表示Q的坐标，设直线方程，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理整理Q的坐标，根据Q在椭圆上，求得直线方程.

(1) 由题意可得N在圆M内部，所以两圆内切，

所以，

由椭圆的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，

设椭圆方程为，

其中，，

所以，

所以点的轨迹的方程为.

(2) 假设C上存在点Q，使得四边形是平行四边形，

由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为：

设直线与椭圆C的交点，

则

联立可得，

由韦达定理可得，

所以，

点 Q在椭圆C上，所以，

解得

综上可得，直线为或时，

椭圆C上存在点Q，使得四边形是平行四边形，否则不存在.