[题目]2020年4月8日.武汉市雷神山医院为确诊新型冠状病毒肺炎患者.需要检测核酸是否为阳性.现有份核酸样本.有以下两种检测方式:(1)逐份检测.则需要检测次,(2)混合检测.将其中(.且)份核酸样本分别取样混合在一起检测.若检测结果为阴性.这份核酸样本全为阴性.因而这份核酸样本只要检测一次就够了.如果检测结果为阳性.为了明确这份核酸样本究竟哪几份为阳性.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】2020年4月8日，武汉市雷神山医院为确诊新型冠状病毒肺炎患者，需要检测核酸是否为阳性，现有份核酸样本，有以下两种检测方式：（1）逐份检测，则需要检测次；（2）混合检测，将其中(，且)份核酸样本分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，这份核酸样本全为阴性，因而这份核酸样本只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这份核酸样本究竟哪几份为阳性，就要对这份样本再逐份检测，此时这份核酸样本的检测次数总共为次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.

（1）假设有5份核酸样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检测方式，求恰好经过4次检测就能把阳性样本全部检测出来的概率.

（2）现取其中(，且)份核酸样本，记采用逐份检测方式，样本需要检测的总次数为，采用混合检测方式，样本需要检测的总次数为.

①试运用概率统计的知识，若，试求关于的函数关系式；

②若，用混合检测方式可以使得样本需要检测的总次数的期望值比逐份检测的总次数期望值更少，求的最大值.

参考数据：

【答案】（1）；（2）①(，且)；②.

【解析】

（1）利用古典概率计算公式即可得出．

（2）①由已知得，的所有可能取值为1，．可得，，即可得出期望．根据，解得．

②由题意可知，得，，，可得，设，利用导数研究其单调性即可得出．

解：（1）由题意可知，

故恰好经过4次检测就能把阳性样本全部检测出来的概率为.

（2）①由已知得的所有可能取值为1，，

若，则，

即，

故关于的函数关系式为(，且).

②由题意可知，得，

，设，

则，当时，，即在上单调递减. .

的最大值为4.

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