Question

【题目】从年底开始，非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾情.目前，蝗虫已抵达乌干达和坦桑尼亚，并向西亚和南亚等地区蔓延.蝗虫危害大，主要危害禾本科植物，能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

平均温度
平均产卵数个

表中，.

（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（结果精确到小数点后第三位）

（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为.

①记该地今后年中，恰好需要次人工防治的概率为，求取得最大值时相应的概率；

②根据①中的结论，当取最大值时，记该地今后年中，需要人工防治的次数为，求的数学期望和方差.

附：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，.

Answer 1

【答案】（1）更适宜；；（2）①；②，.

【解析】

（1）利用图象可得出更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归类型，对，两边取自然对数，求出关于的回归方程，进而可得出关于的回归方程；

（2）①对函数求导数，利用导数判断该函数的单调性，求出函数取最值时对应的的值；

②由取最大值时对应的的值，得出，由二项分布的数学期望和方差公式可得出、的值.

（1）由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归类型，

对两边取自然对数得，令，，，则.

因为，，

所以，关于的回归方程为，

所以，关于的回归方程为；

（2）①由，，

且，当时，；当时，.

所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，；

②由①可知，当时，取最大值，

又，则，由题意可知，，.