Question

【题目】已知圆的圆心为，直线l过点且与x轴不重合，l交圆于C，D两点，过作的平行线，交于点E.设点E的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）直线与相切于点M，与两坐标轴的交点为A与B，直线经过点M且与垂直，与的另一个交点为N，当取得最小值时，求的面积.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）根据三角形相似得到，得到AE+DE＝4，再利用椭圆定义求解即可

（2）设的方程为，与椭圆联立，由直线与相切得，由在x轴、y轴上的截距分别为，m，得表达式，结合基本不等式求得坐标及，进而得，则面积可求

（1）因为，所以.

又，所以，则，

所以，从而.

化为，

所以，

从而E的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆（剔除左、右顶点）.

所以的方程为.

（2）易知的斜率存在，所以可设的方程为，

联立消去y，得.

因为直线l与相切,所以，

即.

在x轴、y轴上的截距分别为，m，

则

，

当且仅当，即时取等号.

所以当时，取得最小值，此时，

根据对称性.不妨取，，此时，

即，从而.

联立消去y，得，

则，解得，

所以，故的面积为.