Question

为改变闽江口环境，加强对化工厂污染源处理，某政协委员针对闽江口环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数y与到污染源的距离x成反比，同时与附近污染源的强度m成正比，且比例系数为k，即y=

km

x

，若该处与污染源的距离为4km，污染源的强度为2时，则污染指数y等于1．现已知相距36km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为正数a、b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC=x（km）．（0＜x＜36）
（1）试将y表示为x的函数；
（2）现准备在A，B连线上C处建健身房，若a=1，b=25时，请问C在何处是最佳选择，并说明理由．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：应用题,导数的概念及应用

分析：（1）求出点C受A、B污染源污染指数，即可得到点C处污染指数；
（2）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的极值与最值，进而可得结论．

解答： 解：（1）设比例系数为k，由1=

2k

4

得k=2．
设点C受A污染源污染指数为

2a

x

，点C受B污染源污染指数为

2b

36-x

，
从而点C处污染指数y=

2a

x

+

2b

36-x

（0＜x＜36）；
（2）a=1，b=25时，y=

2

x

+

50

36-x

（0＜x＜36）
∴y′=2[-

1

x2

+

25

(36-x)2

]，
令y′=0，得x=6或x=-9（舍去），
当x∈（0，6）时，函数单调递减；当x∈（6，+∞）时，函数单调递增，
∴x=6是唯一的极小值点，即为函数的最小值点．

点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查函数的最值，属于中档题．