Question

在如图所示的几何体中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，AC=BC=1，∠ACB=90°，AE=2CD=2．
（Ⅰ）证明：DF∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-BD-E的大小的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）以C为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DF∥平面ABC．
（Ⅱ）分别求出平面ABD的一个法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出二面角A-BD-E的大小的余弦值．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：∵EA⊥平面ABC，CD∥AE，∴CD⊥平面ABC．
∴以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），
D（0，0，1），E（1，0，2），F ( 

1

2

 ， 

1

2

 ， 1 )．
∴

DF

= ( 

1

2

 ， 

1

2

 ， 0 )，
∵平面ABC的一个法向量为

m

=(0，0，1)，
∴

DF

•

m

=0，
又∵DF?平面ABC，∴DF∥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，

BD

= ( 0 ， -1 ， 1 )，

AB

= ( -1 ， 1 ， 0 )，

BE

= ( 1 ， -1 ， 2 )．
设

n1

=( x1 ， y1 ，z1 )是平面ABD的一个法向量，
由

n1 • BD =0  n1 • AB =0

，得

-y1+z1=0 -x1+y1=0

，
取x₁=1，得

.

n1

=（1，1，1）．…（8分）
设平面BDE的法向量

n2

=（x₂，y₂，z₂），
由

n2 • BD =0 n2 • BE =0

，得

-y2+z2=0 x2-y2+2z2=0

，
取x₂=-1，得

n2

=（-1，1，1）．…（10分）
设二面角A-BD-E的大小为θ，
则cosθ=cos＜

n1

，

n2

＞=

1

3 • 3

=

1

3

，
∴二面角A-BD-E的大小的余弦值是

1

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．