Question

倾斜角为α的直线l过点P（8，2），直线l和曲线C：

x=4 2 cosθ y=2sinθ

（θ为参数）交于不同的两点M₁、M₂．
（1）将曲线C的参数方程化为普通方程，并写出直线l的参数方程；
（2）求|PM₁|•|PM₂|的取值范围．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）消去参数，把曲线C的参数方程化为普通方程；由直线l的倾斜角和过点P，写出参数方程；
（2）把l的参数方程为代入曲线C的方程，由参数的几何意义得|PM₁|•|PM₂|=t₁•t₂，求出取值范围即可．

解答： 解：（1）∵曲线C的参数方程是

x=4 2 cosθ y=2sinθ

（θ为参数），
∴化为普通方程是

x2

32

+

y2

4

=1；
又∵直线l的倾斜角为α，且过点P（8，2），
∴l的参数方程为

x=8+tcosα y=2+tsinα

（t为参数）；
（2）将l的参数方程为代入曲线C的方程得：
（8+tcosα）²+8（2+tsinα）²=32，
整理得：（8sin²α+cos²α）t²+（16cosα+32sinα）t+64=0，
∴|PM₁|•|PM₂|=t₁•t₂=

64

1+7sin2α

≤64；
又△=（16cosα+32sinα）²-4（8sin²α+cos²α）×64≥0，
∴（cosα+2sinα）²-（8sin²α+cos²α）≥0，
∴sinαcosα≥2sin²α；
又sinα≥0，
∴

cosα

sinα

≥2，
即

1-sin2α

sin2α

≥4，
∴

1

sin2α

≥5，
即sin²α≤

1

5

；
∴

64

1+7sin2α

≥

80

3

，
∴|PM₁|•|PM₂|的取值范围是[

80

3

，64]．

点评：本题考查了参数方程的应用问题，解题时应消去参数，化参数方程为普通方程，并应用参数的几何意义进行解答，是基础题目．