Question

【题目】已知椭圆与抛物线有共同的焦点，且两曲线的公共点到的距离是它到直线 （点在此直线右侧）的距离的一半.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为坐标原点，直线过点且与椭圆交于两点，以为邻边作平行四边形.是否存在直线，使点落在椭圆或抛物线上？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在直线，使点落在抛物线上，存在直线，使点落在椭圆上，理由见解析.

【解析】

(1)由题意，则.设点是两曲线在第二象限内的交点，求出点的坐标，代入椭圆方程得关于的方程，求得的值，即求椭圆方程；

（2）当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合为平行四边形，即，可得的坐标，分别代入椭圆与抛物线方程，得到关于的方程，均无解；当直线斜率不存在时，易知存在点在椭圆上，即得答案.

（1）由题意知，因而，即，

又两曲线在第二象限内的交点到的距离是它到直线的距离的一半，

即，

得，则，

代入到椭圆方程，得.

由，

解得，

所求椭圆的方程为.

（2）当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为

由，

得，

设，

则，

由于为平行四边形，得，

故，又，

可得.

若点在椭圆上，则，代入得，无解.

若点在抛物线上，则，代入得，无解.

当直线斜率不存在时，，此时存在点在椭圆上.

故不存在直线，使点落在抛物线上，存在直线，使点落在椭圆上.