【题目】已知函数,.
(1)若,,求函数在处的切线方程;
(2)若,且是函数的一个极值点,确定的单调区间;
(3)若,且对任意,恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为;当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为;(3).
【解析】
(1)求得和后,即可利用导数的几何意义得到所求的切线方程;
(2)根据极值点的定义可确定,由此可得,分别在和两种情况下根据导函数的正负确定原函数的单调区间;
(3)将恒成立的不等式化为,①当时,由恒成立可知,满足题意;②当时,由时可知,满足题意;由零点存在定理可验证出和时存在的区间,不满足题意;综合几种情况可得最终结果.
(1)当,时,,
则,,,
在处的切线方程为,即.
(2)当时,,,
是的一个极值点,,,
,
令,解得:,,
是一个极值点,,即,
①当,即时,
若和,;若,,
的单调递增区间为,,单调递减区间为;
②当,即时,
若和,;若,,
的单调递增区间为,,单调递减区间为;
综上所述:当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为;当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为.
(3)当,时,对任意恒成立,
即对任意恒成立.
令,
则,
,,
①当时,对任意,恒成立,
在上单调递减,,满足题意;
②当时,
当时,,在上单调递减,,
⑴当时,,在上单调递减,
,
i.当时,,在上单调递减,
,满足题意;
ii.当时,由,,
,使得,则在上单调递增,
当时,,不满足题意;
⑵当时,由,当时,,
,使得,在上恒成立,
在上单调递增,,
在上单调递增,,不满足题意;
综上所述:实数的取值范围为.
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【题目】为了研究国民收入在国民之间的分配,避免贫富过分悬殊,美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线,如图所示.劳伦茨曲线为直线时,表示收入完全平等,劳伦茨曲线为折线时,表示收入完全不平等.记区域为不平等区域,表示其面积,为的面积.将,称为基尼系数.对于下列说法:
①越小,则国民分配越公平;
②设劳伦茨曲线对应的函数为,则对,均有;
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则;
其中正确的是:( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
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【题目】在直角坐标系xOy中,圆C的普通方程为在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为.Ⅰ写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程;Ⅱ设直线l与x轴和y轴的交点分别为A、B,P为圆C上的任意一点,求的取值范围.
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【题目】已知函数,,.
(1)若函数在上是单调函数,求实数m的取值范围;
(2)当时,
(i)求函数在点处的切线方程;
(ii)若对任意,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,在以O为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为.
(1)设曲线C与直线l的交点为A、B,求弦AB的中点P的直角坐标;
(2)动点Q在曲线C上,在(1)的条件下,试求△OPQ面积的最大值.
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【题目】已知椭圆与抛物线有共同的焦点,且两曲线的公共点到的距离是它到直线 (点在此直线右侧)的距离的一半.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为坐标原点,直线过点且与椭圆交于两点,以为邻边作平行四边形.是否存在直线,使点落在椭圆或抛物线上?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由.
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