Question

【题目】已知函数，，.

（1）若函数在上是单调函数，求实数m的取值范围；

（2）当时，

（i）求函数在点处的切线方程；

（ii）若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）

（2）（i），（ii）

【解析】

（Ⅰ）求出原函数的导函数，利用导函数恒大于等于0或恒小于等于0求解的取值范围；

（Ⅱ）当时，，，

求得与，再由直线方程的点斜式求解；

证明当，时，，，可得时不等式恒成立，然后利用导数证明时不等式不成立，则答案可求．

解：（1），

因为函数在上是单调函数，

所以函数在上是单调递增函数或是单调递减函数，

即或恒成立，也即或在上恒成立.

当时，，

所以.

（2）当时，，.

（i）因为，所以.

又，所以函数在点处的切线方程为.

（ii）由（i）知函数在点处的切线方程为，

下面先证明，.

证明：设函数，，

.

因为，所以，

所以函数在上单调递增，又，所以.

所以，.①

接下来证明：当时，.

设函数，则，

所以当时，，所以函数在上单调递减.

又，所以，故，.②

依据①②式可知，当时，显然成立.

当时，设，

则，

取，，

则.

又因为，由零点存在性判定方法可知：必存在，使得.

当时，，此时单调递减，又，所以，矛盾.

综上可知：.