Question

如图，已知抛物线C：y²=4x，过点A（1，2）作抛物线C的弦AP，AQ．
（Ⅰ）若AP⊥AQ，证明直线PQ过定点，并求出定点的坐标；
（Ⅱ）假设直线PQ过点T（5，-2），请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的个数？如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）设直线l的方程与抛物线方程联立，利用AP⊥AQ，结合韦达定理，即可证明直线PQ过定点，并可求出定点的坐标；
（II）先求出PQ的中点坐标，再结合三角形APQ为等腰三角形求出关于m的等式，借助于函数的单调性求出m的取值个数即可得到结论．
解答：（Ⅰ）证明：设直线PQ的方程为x=my+n，点P、Q的坐标分别为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
直线方程代入抛物线方程，消x得y²-4my-4n=0．
由△＞0，得m²+n＞0，y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4n．
∵AP⊥AQ，∴，∴（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-2）（y₂-2）=0．
∴（y₁-2）（y₂-2）[（y₁+2）（y₂+2）+16]=0，
∴（y₁-2）（y₂-2）=0或（y₁+2）（y₂+2）+16=0．
∴n=2m-1或n=2m+5，∵△＞0恒成立，∴n=2m+5．
∴直线PQ的方程为x-5=m（y+2），
∴直线PQ过定点（5，-2）．
（Ⅱ）解：假设存在以PQ为底边的等腰三角形APQ，由第（Ⅰ）问可知，将n用2m+5代换得直线PQ的方程为x=my+2m+5．设点P、Q的坐标分别为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线方程代入抛物线方程，消x得y²-4my-8m-20=0．
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-8m-20．
∴PQ的中点坐标为（2m²+2m+5，2m）．
由已知得，即m³+m²+3m-1=0．
设g（m）=m³+m²+3m-1，则g′（m）=3m²+2m+3＞0，
∴g（m）在R上是增函数．
又g（0）=-1＜0，g（1）=4＞0，∴g（m）在（0，1）内有一个零点．
∴函数g（m）在R上有且只有一个零点，即方程m³+m²+3m-1=0在R上有唯一实根．
所以满足条件的等腰三角形有且只有一个．
点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题．解决第一问的巧妙之处在于直线方程的设法．当直线的斜率不确定存在时，为避免讨论，常设直线方程为x=my+n的形式．