Question

13．．已知tanα，tanβ是方程x²-5x+5=0的两个根，求：sin²（α+β）+sin（α+β）cos（α+β）+cos²（α+β）+3的值．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系，写出tanα、tanβ的关系，根据和差化积公式求得tan（α+β），将原式化为tan（α+β）的形式，即可求得原式的值

解答 解：由韦达定理得：tanα+tanβ=5，tanα•tanβ=5，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=$\frac{5}{1-5}=-\frac{5}{4}$
原式=$1+\frac{sin（α+β）•cos（α+β）}{si{n}^{2}（α+β）+co{s}^{2}（α+β）}+3$
=4+$\frac{tan（α+β）}{ta{n}^{2}（α+β）+1}$
=4+$\frac{-\frac{5}{4}}{（\frac{5}{4}）^{2}+1}$
=$\frac{144}{41}$．

点评 本题考查的韦达定理和积化和差公式的综合应用，属于基础题．