Question

4．y=cos$\frac{cosx}{2+sinx}$（x∈R）的值域为[cos$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]．

Answer 1

分析 设z=$\frac{cosx}{2+sinx}$，求出函数z的取值，在根据余弦函数的单调性求y的值域．

解答 解：设z=$\frac{cosx}{2+sinx}$，则2z+zsinx=cosx
∴2z=cosx-zsinx
2z=$\sqrt{{z}^{2}+1}$sin（x+θ）
∴sin（x+θ）=$\frac{2z}{\sqrt{{z}^{2}+1}}$
即可得出丨$\frac{2z}{\sqrt{{z}^{2}+1}}$丨≤1
解得$-\frac{\sqrt{3}}{3}≤z≤\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由余弦函数图象可知y的取值范围为[cos$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]
故答案为[cos$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]

点评 本题需要设中间变量，求出其取值范围，再根据余弦函数图象求出其取值范围．属于中档题