Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+1+a_n=2n+1，其中a₁=1，若不等式（1+$\frac{1}{{2a}_{1}-1}$）（1+$\frac{1}{{2a}_{2}-1}$）…（1+$\frac{1}{{2a}_{n}-1}$）≥k$\sqrt{{2a}_{n}+1}$对?n∈N₊都成立，则k的取值范围为k≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由a_n+1+a_n=2n+1可得a_n+2-a_n=2，而且a₁=1，a₂=2；从而求得a_n=n，再构造b_n=$\frac{（1+1）•（1+\frac{1}{3}）…（1+\frac{1}{2n-1}）}{\sqrt{2n+1}}$，从而可证明数列{b_n}为单调递增数列，从而求恒成立问题．

解答 解：∵a_n+1+a_n=2n+1，a_n+2+a_n+1=2n+3，
∴a_n+2-a_n=2，
∵a₁=1，a₁+a₂=3，
∴a₁=1，a₂=2；
∴数列{a_n}是以1为首项，公差为1的等差数列，
∴a_n=n，
令b_n=$\frac{（1+\frac{1}{2{a}_{1}-1}）（1+\frac{1}{{2a}_{2}-1}）…（1+\frac{1}{2{a}_{n}-1}）}{\sqrt{2{a}_{n}+1}}$
=$\frac{（1+1）•（1+\frac{1}{3}）…（1+\frac{1}{2n-1}）}{\sqrt{2n+1}}$，
故$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{1+\frac{1}{2n+1}}{\sqrt{2n+3}}$•$\sqrt{2n+1}$=$\frac{2n+2}{\sqrt{（2n+3）（2n+1）}}$＞1，
故数列{b_n}为单调递增数列，
∵不等式（1+$\frac{1}{{2a}_{1}-1}$）（1+$\frac{1}{{2a}_{2}-1}$）•…•（1+$\frac{1}{{2a}_{n}-1}$）≥k$\sqrt{{2a}_{n}+1}$对?n∈N₊都成立，
∴k≤$\frac{（1+\frac{1}{2{a}_{1}-1}）（1+\frac{1}{{2a}_{2}-1}）…（1+\frac{1}{2{a}_{n}-1}）}{\sqrt{2{a}_{n}+1}}$=b_n对?n∈N₊都成立，
∴k≤b₁=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
故答案为：k≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了数列的通项公式的求法及构造法的应用，同时考查了恒成立问题与最值问题的应用．