Question

8．已知数列{a_n}中，a₁=1，当n∈N时，a_n+1a_n=a_n+2．试回答下列问题：
（1）求证数列{$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}+1}$}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由题意可得到a_n+1=1+$\frac{2}{{a}_{n}}$，代入化简可得数列{$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}+1}$}是以-$\frac{1}{2}$为首项、-$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
（2）由（1）可以求出数列{a_n}的通项公式．

解答 解：（1）a₁=1，当n∈N时，a_n+1a_n=a_n+2，
∴a_n+1=1+$\frac{2}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}-2}{{a}_{n+1}+1}$=$\frac{1+\frac{2}{{a}_{n}}-2}{1+\frac{2}{{a}_{n}}+1}$=$\frac{2-{a}_{n}}{2+2{a}_{n}}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}+1}$，
∵$\frac{{a}_{1}-2}{{a}_{1}+1}$=-$\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}+1}$}是以-$\frac{1}{2}$为首项、-$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
（2）由（1）可知，$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}+1}$=-$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$）^n-1=（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴a_n-2=（-$\frac{1}{2}$）ⁿ•a_n+（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴a_n（1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ）=2+（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴a_n=$\frac{2+（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}+（-1）^{n}}{{2}^{n}-（-1）^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用，是中档题．