Question

6．已知曲线y=e^-x；
①若曲线在点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则P点坐标是（-ln2，2）；
②若曲线在点P处的切线垂直于直线ex-y+1=0，则P点坐标是（1，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 ①设P（m，n），求出函数的导数，求得切线的斜率，运用两直线平行的条件：斜率相等，计算即可得到所求点的坐标；
②设P（s，t），求出函数的导数，求得切线的斜率，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，计算即可得到所求点的坐标．

解答 解：①设P（m，n），由y=e^-x的导数y′=-e^-x，
曲线在点P处的切线斜率为k=-e^-m，
由切线平行于直线2x+y+1=0，可得-e^-m=-2，
解得m=-ln2，n=e^ln2=2，可得P（-ln2，2）；
②设P（s，t），由y=e^-x的导数y′=-e^-x，
曲线在点P处的切线斜率为k=-e^-s，
由切线垂直于直线ex-y+1=0，可得-e^-s=-$\frac{1}{e}$，
解得s=1，t=e^-1，可得P（1，$\frac{1}{e}$）．
故答案为：（-ln2，2），（1，$\frac{1}{e}$）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查两直线平行或垂直的条件，正确求导是解题的关键，属于基础题．