Question

15．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比数列，若a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项的和，则$\frac{{2{S_n}+14}}{{{a_n}+1}}（n∈N*）$的最小值为（　　）

• A． $\frac{11}{2}$
• B． $\frac{16}{3}$
• C． $2\sqrt{7}$
• D． 4

Answer 1

分析 a₁，a₃，a₁₃成等比数列，a₁=1，可得：${a}_{3}^{2}$=a₁a₁₃，即（1+2d）²=1+12d，d≠0，解得d．可得a_n，S_n．代入$\frac{2{S}_{n}+14}{{a}_{n}+1}$化简利用导数研究单调性即可得出．

解答 解：∵a₁，a₃，a₁₃成等比数列，a₁=1，
∴${a}_{3}^{2}$=a₁a₁₃，
∴（1+2d）²=1+12d，d≠0，
解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
S_n=$n+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²．
∴$\frac{2{S}_{n}+14}{{a}_{n}+1}$=$\frac{2{n}^{2}+14}{2n}$=n+$\frac{7}{n}$，
利用函数f（x）=x+$\frac{7}{x}$，在$[1，\sqrt{7}）$上单调递减，在$（\sqrt{7}，+∞）$上单调递增．
∴当n=3时，$\frac{{2{S_n}+14}}{{{a_n}+1}}（n∈N*）$的最小值为$\frac{16}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．