Question

20．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于点A，B，且与其中一条渐近线垂直，若△OAB的面积为$\frac{16}{3}$，其中O为坐标原点，则双曲线的焦距为2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为θ，由两直线的夹角公式，可得tanθ=tan∠AOB，求出F到渐近线y=$\frac{b}{a}$x的距离为b，即有|OB|=a，△OAB的面积可以表示为$\frac{1}{2}$a•atanθ，结合条件可得a，b的关系，再由离心率公式即可计算得到．

解答 解：由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，a²+b²=c²，
双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
设两条渐近线的夹角为θ，
则tanθ=tan∠AOB=$\frac{\frac{b}{a}-（-\frac{b}{a}）}{1+\frac{b}{a}•（-\frac{b}{a}）}$=$\frac{2ab}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
设FB⊥OB，则F到渐近线y=$\frac{b}{a}$x的距离为d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
即有|OB|=a，
则△OAB的面积可以表示为$\frac{1}{2}$•a•atanθ=$\frac{{a}^{3}b}{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{16}{3}$，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{10}$，即2c=2$\sqrt{10}$．
故答案为：2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查双曲线的焦距的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和离心率公式，以及点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．