Question

8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b-c）（a-b+c）=bc．
（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）已知向量$\overrightarrow{m}$=$（c，\sqrt{3}+1）$，$\overrightarrow{n}$=（b，2），若$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$共线，求tanC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）整理已知等式可得b²+c²-a²=bc，利用余弦定理可得$cosA=\frac{1}{2}$，结合范围0＜A＜π，即可解得A的值．
（Ⅱ）由m与n共线可得$2c=（\sqrt{3}+1）b$，由正弦定理可得$2sinC=（\sqrt{3}+1）sinB$，结合sinB=sin（A+C），由三角函数恒等变换的应用即可求值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵（a+b-c）（a-b+c）=bc，
∴a²-b²-c²+2bc=bc，
∴b²+c²-a²=bc…（3分）
由余弦定理知：∵b²+c²-a²=2bccosA，…（5分）
∴$cosA=\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴$A=\frac{π}{3}$…（6分）
（Ⅱ）∵m与n共线∴$2c=（\sqrt{3}+1）b$，…（7分）
由正弦定理知：$2sinC=（\sqrt{3}+1）sinB$，…（8分）
又∵在△ABC中，sinB=sin（A+C），
∴$2sinC=（\sqrt{3}+1）sin（\frac{π}{3}+C）$，…（10分）
即：$2sinC=（\sqrt{3}+1）（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC）$$（3-\sqrt{3}）sinC=（\sqrt{3}+3）cosC$，
∴$tanC=2+\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．