Question

17．设平面上有直线L：y=2x，曲线C：y=$\frac{1}{2}$x³．又有下列方式定义数列{a_n}：
（1）a₁=$\frac{1}{2}$；
（2）当给定a_n后，作过点（a_n，0）且与y轴平行的直线，它与l的交点记为P_n，再过点P_n且与x轴平行的直线，它与C的交点记为Q_n，定义a_n+1为Q_n的横坐标．试求数列{a_n}的通项．

Answer 1

分析 由点P_n与Q_n的坐标关系得到数列递推式，两边取对数可得数列{$lg\frac{{a}_{n}}{2}$}构成以$lg\frac{1}{4}=-2lg2$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，求得等比数列的通项公式后由对数的运算性质可得数列{a_n}的通项．

解答 解：由题意可知，a₁=$\frac{1}{2}$，
P_n的横坐标为a_n，纵坐标为2a_n，则Q_n的纵坐标为2a_n，
∴Q_n的横坐标为$\root{3}{4{a}_{n}}$，即${a}_{n+1}=\root{3}{4{a}_{n}}$，
∴${{a}_{n+1}}^{3}=4{a}_{n}$，
两边取对数得：3lga_n+1=lga_n+2lg2，
即$lg{a}_{n+1}=\frac{1}{3}lg{a}_{n}+\frac{2}{3}lg2$，化为$lg{a}_{n+1}-lg2=\frac{1}{3}（lg{a}_{n}-lg2）$，
即$lg\frac{{a}_{n+1}}{2}=\frac{1}{3}lg\frac{{a}_{n}}{2}$，
∴数列{$lg\frac{{a}_{n}}{2}$}构成以$lg\frac{1}{4}=-2lg2$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴$lg\frac{{a}_{n}}{2}=-2（\frac{1}{3}）^{n-1}lg2$=$lg{2}^{-2（\frac{1}{3}）^{n-1}}$，
则$\frac{{a}_{n}}{2}={2}^{-2（\frac{1}{3}）^{n-1}}$，
∴${a}_{n}={2}^{1-2（\frac{1}{3}）^{n-1}}$．

点评 本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，由题意求得数列递推式是解答该题的关键，是中档题．