Question

【题目】[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+ ）=2 ．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：曲线C1的参数方程为 （α为参数），

移项后两边平方可得 +y2=cos2α+sin2α=1，

即有椭圆C1： +y2=1；

曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+ ）=2 ，

即有ρ（ sinθ+ cosθ）=2 ，

由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，

即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；

（2）

解：由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，

|PQ|取得最值．

设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，

联立 可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，

由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，

解得t=±2，

显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，

即有|PQ|= = ，

此时4x2﹣12x+9=0，解得x= ，

即为P（ ， ）．

另解：设P（ cosα，sinα），

由P到直线的距离为d=

= ，

当sin（α+ ）=1时，|PQ|的最小值为 ，

此时可取α= ，即有P（ ， ）．

【解析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．
另外：设P（ cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．