Question

设f（x）是定义在R上的函数，?x∈R，都有f（2-x）=f（2+x），f（-x）=f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）=2^x-2，若函数g（x）=f（x）-log_a（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（-1，2014]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  9

  ，

  1

  5

  ）∪（

  3

  ，

  7

  ）
• B、（0，

  1

  9

  ）∪（

  7

  ，+∞）
• C、（

  1

  9

  ，1）∪（1，

  3

  ）
• D、（

  1

  7

  ，

  1

  3

  ）∪（

  3

  ，

  7

  ）

Answer 1

分析：根据条件确定函数的奇偶性和周期性，由g（x）=f（x）-log_a（x+1）=0得f（x）=log_a（x+1），分别作出两个函数的图象，根据数形结合即可得到结论．

解答：解：由f（2-x）=f（2+x），得到函数f（x）关于x=2对称，
由f（-x）=f（x）得函数f（x）是偶函数，
且f（2-x）=f（2+x）=f（x-2），
即f（x+4）=f（x），
即函数的周期是4．
当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]，
此时f（x）=f（-x）=2^-x-2，
由g（x）=f（x）-log_a（x+1）=0得f（x）=log_a（x+1），（a＞0，a≠1）
作出函数f（x）的图象如图：

①若a＞1，
当函数g（x）=log_a（x+1），经过点A（2，2）时，两个图象有两个交点，
此时g（2）=log_a3=2，解得a=

3

，
当函数g（x）=log_a（x+1），经过点B（6，2）时，两个图象有四个交点，
此时g（6）=log_a7=2，解得a=

7

，此时要使两个函数有3个不同的零点，则

3

＜a＜

7

，
②若0＜a＜1，
当函数g（x）=log_a（x+1），经过点C（4，-1）时，两个图象有两个交点，
此时g（4）=log_a5=-1，解得a=

1

5

，
当函数g（x）=log_a（x+1），经过点D（8，-1）时，两个图象有四个交点，
此时g（6）=log_a9=-1解得a=

1

9

，此时要使两个函数有3个不同的零点，则

1

9

＜a＜

1

5

，
综上：实数a的取值范围是（

1

9

，

1

5

）∪（

3

，

7

），
故选：A．

点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用条件求出函数的奇偶性和周期性是解决本题的关键，利用数形结合是解决此类问题的基本数学思想．