Question

9．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
（1）分别求f（2）+f（$\frac{1}{2}$），f（3）+f（$\frac{1}{3}$），f（4）+f（$\frac{1}{4}$）的值，并归纳猜想一般性结论，并给出证明；
（2）求值：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2016}$）．

Answer 1

分析 （1）代入数据计算即可发现规律；利用解析式化简即可证明；
（2）根据（1）的结论计算．

解答 解：（1）f（2）+f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{5}+$$\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{5}+\frac{1}{5}$=1，
f（3）+f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{9}{10}$+$\frac{1}{10}$=1，f（4）+f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{16}{17}+\frac{1}{17}$=1．
猜想：f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=1，
证明：f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=$\frac{{n}^{2}}{1+{n}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{{n}^{2}}}{1+\frac{1}{{n}^{2}}}$=$\frac{{n}^{2}}{1+{n}^{2}}$+$\frac{1}{1+{n}^{2}}$=1．
（2）∵f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=1，f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2016}$）
=$\frac{1}{2}+$2015=$\frac{4031}{2}$．

点评 本题考查了函数值计算，属于基础题．