Question

20．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．
（1）若a、b、c成等比数列，且$cosB=\frac{3}{5}$，求cotA+cotC的值；
（2）若A、B、C成等差数列，且b=2，求△ABC 的周长l的最大值．

Answer 1

分析 （1）首先求出sinB的值，再依据正弦定理及a、b、c成等比数列得出sin²B=sinAsinC，对cotA+cotC化简代入即可．
（2）由等差数列中项的性质，结合三角形的内角和定理求得B，利用正弦定理表示出a与c，进而表示出三角形ABC的周长，由三角函数的恒等变换，利用余弦函数的值域即可确定出周长的最大值．

解答 解：（1）∵cosB=$\frac{3}{5}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\sqrt{1-\frac{9}{25}}$=$\frac{4}{5}$，
∵a、b、c成等比数列，∴b²=ac，
∴依据正弦定理得：sin²B=sinAsinC，
∴cotA+cotC
=$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{sinCcosA+cosCsinA}{sinAsinC}$=$\frac{sin（A+C）}{si{n}^{2}B}$
=$\frac{sinB}{si{n}^{2}B}$=$\frac{1}{sinB}$=$\frac{5}{4}$．
（2）∵b=2，A、B、C成等差数列，
可得2B=A+C=180°-B，即B=60°，
sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
即a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA，c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinC，
∵A+C=120°，即C=120°-A，
∴△ABC周长为l=a+b+c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinA+sinC）+2
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（120°-A）]+2=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×2sin60°cos（A-60°）+2
=4cos（A-60°）+2，
∵0＜A＜120°，∴-60°＜A-60°＜60°，
∴$\frac{1}{2}$＜cos（A-60°）≤1，即4＜4cos（A-60°）+2≤6，
则当A=B=C=60°时，△ABC周长取得最大值为6．

点评 本题考查了正弦定理，等差数列和等比数列中项的性质以及三角函数的恒等变换，熟练掌握正弦定理是解本题关键，属于中档题．