Question

11．已知函数f（x）=a+msin2x+ncos2x的图象经过点A（0，1），B（$\frac{π}{4}$，1），且当x∈$[{0，\frac{π}{4}}]$时，f（x）取得最大值2$\sqrt{2}$-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在向量$\overrightarrow m$，使得将f（x）的图象按向量$\overrightarrow m$平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出$|{\overrightarrow m}|$最小的$\overrightarrow m$；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意求得m、n、a间的关系，再根据当x∈$[{0，\frac{π}{4}}]$时，f（x）取得最大值2$\sqrt{2}$-1，求得a的值，可得函数的解析式．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得$|{\overrightarrow m}|$最小的$\overrightarrow m$．

解答 解：（1）∵函数f（x）=a+msin2x+ncos2x的图象经过点A（0，1），B（$\frac{π}{4}$，1），
∴a+0+n=1，且a+m+0=1，求得m=n=1-a，
故有f（x）=a+（1-a）sin2x+（1-a）cos2x=a+$\sqrt{2}$（1-a）sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
①若1-a＞0，∵当x∈$[{0，\frac{π}{4}}]$时，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
故当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值为a+$\sqrt{2}$（1-a）．
又f（x）的最大值2$\sqrt{2}$-1，可得a+$\sqrt{2}$（1-a）=2$\sqrt{2}$-1，求得a=-1，
∴f（x）=-1+2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
②若1-a＜0，∵当x∈$[{0，\frac{π}{4}}]$时，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
故当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$时，f（x）取得最大值为a+$\sqrt{2}$（1-a）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又f（x）的最大值2$\sqrt{2}$-1，可得a+$\sqrt{2}$（1-a）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$-1，求得a无解．
③若1-a=0，f（x）=1，不满足条件．
综上可得，a=-1，f（x）=-1+2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
（2）把f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位，可得y=-1+2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=-1+2$\sqrt{2}$sin2x的图象；
再把所的图象向上平移1个单位，可得奇函数y=2$\sqrt{2}$sin2x的图象，此时，平移的距离最小．
故若将f（x）的图象按向量$\overrightarrow m$ 平移后可以得到一个奇函数的图象，则存在$\overrightarrow{m}$=（$\frac{π}{8}$，1），且满足|$\overrightarrow{m}$|最小．

点评 本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于中档题．