Question

6．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁和F₂，点A、B分别是椭圆的上、下顶点，四边形AF₁BF₂是正方形．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）点$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$是椭圆C上一点．
①求椭圆C的方程；
②若动点P在直线y=-a²上（不在y轴上），直线PB与椭圆交于另一个点M．
证明：直线AM和直线AP的斜率之积为定值．

Answer 1

分析 （1）利用四边形AF₁BF₂是正方形是正方形，列出方程，然后求解离心率．
（2）①由（1）设椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{\frac{1}{2}{a^2}}}=1$，代入$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$，然后求出椭圆方程．
②设点P（x₀，-8），其中x₀≠0设M（x₁，y₁），A（0，2），B（0，-2），通过M，B，P三点共线∴$\frac{{{y_1}+2}}{x_1}=-\frac{6}{x_0}$，求出斜率，得到斜率乘积，化简推出结果即可．

解答 解：（1）四边形AF₁BF₂是正方形是正方形，∴$b=c=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$，∴$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（4分）
（2）①由（1）设椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{\frac{1}{2}{a^2}}}=1$，代入$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$，得$C：\frac{2}{a^2}+\frac{6}{a^2}=1$，∴a²=8，
∴椭圆$C：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．…（8分）
②设点P（x₀，-8），其中x₀≠0设M（x₁，y₁）A（0，2），B（0，-2），
∵M，B，P三点共线∴$\frac{{{y_1}+2}}{x_1}=-\frac{6}{x_0}$（*）
又${k_{AM}}=\frac{{{y_1}-2}}{x_1}\;\;\;\;\;{k_{AP}}=-\frac{10}{x_0}$，∴${k_{AM}}{k_{AP}}=\frac{{{y_1}-2}}{x_1}•\;（-\frac{10}{x_0}）$，
由（*）可知∴${k_{AM}}{k_{AP}}=\frac{5}{3}\frac{{{y_1}^2-4}}{{{x_1}^2}}$（**），
∵M（x₁，y₁）在椭圆$C：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$上∴${y_1}^2=4（1-\frac{{{x_1}^2}}{8}）$，
代入（**）得${k_{AM}}{k_{AP}}=-\frac{5}{6}$为定值．…（14分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．