Question

17．（1）判断函数f（x）=-x²+4x-2在区间[0，3]的单调性以及最大值和最小值；
（2）已知函数f（x）=$\frac{x}{x-1}$．
①求f（1+x）+f（1-x）的值；
②证明函数f（x）在（1，+∞）上是减函数（差分法）．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的对称轴和开口方向判断单调性，利用单调性求出最值；
（2）①代入解析式化简即可；②根据函数增减性的定义判断．

解答 解：（1）f（x）=-（x-2）²+2，
∴f（x）在[0，2]上单调递增，在（2，3]上单调递减，
∴f（x）的最大值为f（2）=2，
又f（0）=-2，f（3）=1，
∴f（x）的最小值为-2．
（2）①f（1+x）+f（1-x）=$\frac{1+x}{1+x-1}$+$\frac{1-x}{1-x-1}$=$\frac{1+x}{x}$-$\frac{1-x}{x}$=2．
②设x₁，x₂是（1，+∞）上的任意两个数，且x₂＞x₁＞1，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}-1}$-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，
∵x₂＞x₁＞1，∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
又x₂＞x₁＞1，
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数．

点评 本题考查了二次函数的性质，函数单调性的判断，属于基础题．