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设双曲线C:的左、右顶点分别为A1、A2,垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点
(1)若直线m与x轴正半轴的交点为T,且,求点T的坐标;
(2)求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程;
(3)过点F(1,0)作直线l与(Ⅱ)中的轨迹E交于不同的两点A、B,设,若(T为(1)中的点)的取值范围。
(1)点T的坐标为(2,0) 
(2) 
(3)

试题分析:(1)设出P、Q的坐标,求得向量的坐标,利用 ,P(x0,y0)在双曲线上,即可求得结论;
(2)利用三点共线建立方程,利用P(x0,y0)在双曲线上,即可求得轨迹方程;
(3)用坐标表示,利用韦达定理,求得模长,从而可得函数关系式,进而可求其范围.
解:(1)由题,得,设

 ……①
在双曲线上,则  ……②
联立①、②,解得   由题意,
∴点T的坐标为(2,0) 
(2)设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为(x,y)
由A1、P、M三点共线,得
  ……③ 
由A2、Q、M三点共线,得
  ……④ 联立③、④,解得    
在双曲线上,∴∴轨迹E的方程为 
(3)容易验证直线l的斜率不为0。
故可设直线l的方程为中,得  

则由根与系数的关系,得 ……⑤ ……⑥
 ∴有
将⑤式平方除以⑥式,得 

 



考点:
点评:解决该试题的关键是借助于向量关系式来表示得到坐标,同时能利用三点共线,进而得到坐标关系,解得轨迹方程。易错点就是设而不求的思想,在运算中的准确表示。
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分12分)
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(A)          (B)        (C)            (D)

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A.B.C.D.

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