试题分析:(1)设出P、Q的坐标,求得向量的坐标,利用
,P(x
0,y
0)在双曲线上,即可求得结论;
(2)利用三点共线建立方程,利用P(x
0,y
0)在双曲线上,即可求得轨迹方程;
(3)用坐标表示
,利用韦达定理,求得模长,从而可得函数关系式,进而可求其范围.
解:(1)由题,得
,设
则
由
……①
又
在双曲线上,则
……②
联立①、②,解得
由题意,
∴点T的坐标为(2,0)
(2)设直线A
1P与直线A
2Q的交点M的坐标为(x,y)
由A
1、P、M三点共线,得
……③
由A
2、Q、M三点共线,得
……④ 联立③、④,解得
∵
在双曲线上,∴
∴轨迹E的方程为
(3)容易验证直线l的斜率不为0。
故可设直线l的方程为
中,得
设
则由根与系数的关系,得
……⑤
……⑥
∵
∴有
将⑤式平方除以⑥式,得
由
∵
又
故
考点:
点评:解决该试题的关键是借助于向量关系式来表示得到坐标,同时能利用三点共线,进而得到坐标关系,解得轨迹方程。易错点就是设而不求的思想,在运算中的准确表示。