Question

【题目】已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga（x+1）， ， 记F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；
（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=（a＞0且a≠1）
由，可解得﹣1＜x＜1，
所以函数F（x）的定义域为（﹣1，1）
令F（x）=0，则…（*）
方程变为，即（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0
解得x1=0，x2=﹣3，经检验x=﹣3是（*）的增根，所以方程（*）的解为x=0
即函数F（x）的零点为0．
（2）方程可化为m=
=，
故，设1﹣x=t∈（0，1]
函数y=t+在区间（0，1]上是减函数
当t=1时，此时x=0，ymin=5，所以am≥1
①若a＞1，由am≥1可解得m≥0，
②若0＜a＜1，由am≥1可解得m≤0，
故当a＞1时，实数m的取值范围为：m≥0，
当0＜a＜1时，实数m的取值范围为：m≤0
【解析】（1）可得F（x）的解析式，由可得定义域，令F（x）=0，由对数函数的性质可解得x的值，注意验证即可；
（2）方程可化为 ， 设1﹣x=t∈（0，1]，构造函数y=t+ ， 可得单调性和最值，进而可得吗的范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的零点与方程根的关系的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．