Question

9．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BA=BC，把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示，点E、F分别为棱PC、CD的中点．

（Ⅰ）求证：平面OEF∥平面APD；
（Ⅱ）若AD=3，CD=4，AB=5，求四棱锥E-CFO的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PO⊥平面ABC，从而PO⊥AC，推导出OE∥PA，从而OE∥平面PAD，同理OF∥平面PAD，由此能证明平面OEF∥平面PDA．
（Ⅱ）求出${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}×3×4=6$，${S_{△CFO}}=\frac{1}{4}{S_{△ACD}}=\frac{3}{2}$，再求出P点到平面ACD的距离为$\frac{5}{2}\sqrt{3}$，E到平面CFO的距离为$\frac{5}{4}\sqrt{3}$，由此能求出四棱锥E-CFO的体积．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）因为点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，
所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AC，
 因为AB=BC，所以O是AC中点，
所以OE∥PA，PA?平面PAD，
 所以 OE∥平面PAD，同理OF∥平面PAD，
又OE∩OF=O，OE、OF?平面OEF，
所以平面OEF∥平面PDA．…（6分）
解：（Ⅱ）因为∠ADC=90°，AD=3，CD=4，
所以${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}×3×4=6$，
而点O，E分别是AC，CD的中点，所以${S_{△CFO}}=\frac{1}{4}{S_{△ACD}}=\frac{3}{2}$，
由题意可知△ACP为边长为5的等边三角形，所以高$OP=\frac{5}{2}\sqrt{3}$，
即P点到平面ACD的距离为$\frac{5}{2}\sqrt{3}$，
又E为PC的中点，所以E到平面CFO的距离为$\frac{5}{4}\sqrt{3}$，
故四棱锥E-CFO的体积${V_{E-CFO}}=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\frac{5}{4}\sqrt{3}=\frac{5}{8}\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题考查面面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．