【题目】已知曲线 ,θ∈[0,2π)上一点P(x,y)到定点M(a,0),(a>0)的最小距离为
,则a= .
【答案】 或
【解析】解:由丨PM丨2=(2cosθ﹣a)2+sin2θ=3cos2θ﹣4acosθ+1+a2 , 设cosθ=t,t∈[﹣1,1],设f(t)=3t2﹣4at+1+a2 , t∈[﹣1,1],
由二次函数的性质,对称轴t= ,由0<
<1时,0<a<
,
则当t= 时,取最小值为:1﹣
,则1﹣
=
,解得:a=±
,
由0<a< ,则a=
,
当 >1时,即a>
,则f(t)在[﹣1,1],单调递减,
则当t=1时取最小值,最小值为:a2+4﹣4a,
∴a2+4﹣4a= ,整理得:16a2﹣64a+55=0,解得:a=
或a=
,
由a> ,则a=
,
综上可知:a的值为: 或
,
所以答案是: 或
.
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【题目】设已知抛物线C:y2=2px的焦点为F1 , 过F1的直线l与曲线C相交于M,N两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°,且|MN|= ,求p;
(2)若p=2,椭圆 +y2=1上两个点P,Q,满足:P,Q,F1三点共线且PQ⊥MN,求四边形PMQN的面积的最小值.
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【题目】已知向量 =(sinA,
)与
=(3,sinA+
)共线,其中A是△ABC的内角.
(1)求角A的大小;
(2)若BC=2,求△ABC面积S的最大值,并判断S取得最大值时△ABC的形状.
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【题目】如图,由半圆x2+y2=r2(y≤0,r>0)和部分抛物线y=a(x2﹣1)(y≥0,a>0)合成的曲线C称为“羽毛球形线”,曲线C与x轴有A、B两个焦点,且经过点(2.3).
(1)求a、r的值;
(2)设N(0,2),M为曲线C上的动点,求|MN|的最小值;
(3)过A且斜率为k的直线l与“羽毛球形线”相交于P,A,Q三点,问是否存在实数k,使得∠QBA=∠PBA?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知直线l:x+ y﹣c=0(c>0)为公海与领海的分界线,一艘巡逻艇在O处发现了北偏东60°海面上A处有一艘走私船,走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B航行,以使上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍,且两者都是沿直线航行,但走私船可能向任一方向逃窜.
(1)如果走私船和巡逻船相距6海里,求走私船能被截获的点的轨迹;
(2)若O与公海的最近距离20海里,要保证在领海内捕获走私船(即不能截获走私船的区域与公海不想交).则O,A之间的最远距离是多少海里?
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【题目】设a,b∈R,函数 ,g(x)=ex(e为自然对数的底数),且函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在x=0处有公共的切线.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)若g(x)>f(x)在区间(﹣∞,0)内恒成立,求a的取值范围.
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【题目】数列{bn}的前n项和为Sn , 且对任意正整数n,都有 ;
(1)试证明数列{bn}是等差数列,并求其通项公式;
(2)如果等比数列{an}共有2017项,其首项与公比均为2,在数列{an}的每相邻两项ai与ai+1之间插入i个(﹣1)ibi(i∈N*)后,得到一个新数列{cn},求数列{cn}中所有项的和;
(3)如果存在n∈N* , 使不等式 成立,若存在,求实数λ的范围,若不存在,请说明理由.
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