Question

【题目】设已知抛物线C：y2=2px的焦点为F1 ， 过F1的直线l与曲线C相交于M，N两点．
（1）若直线l的倾斜角为60°，且|MN|= ，求p；
（2）若p=2，椭圆 +y2=1上两个点P，Q，满足：P，Q，F1三点共线且PQ⊥MN，求四边形PMQN的面积的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线l的方程为y= （x﹣ ），代入抛物线方程，整理可得 =0，

∴xN+xM= ，

∵|MN|= ，

∴ +p= ，∴p=2；

（2）解：当直线MN斜率不存在时，直线PQ斜率为0，此时|MN|=4，|PQ|=2 ，SPMQN=4 ．

当直线MN斜率存在时，设方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入抛物线可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，

∴xM+xN= +2，

∴|MN|= +4

由PQ⊥MN，可设PQ的方程y=﹣ （x﹣1），代入椭圆方程得（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0，

∴xP+xQ= ，xPxQ= ，

∴PQ|= = ，

∴S= ，

令t=1+k2（t＞1），S= =4 （1+ ）＞4 ，

∴四边形PMQN的面积的最小值为4 ．

【解析】（1）直线l的方程为y= （x﹣ ），代入抛物线方程，利用弦长公式，求p；（2）分类讨论，求出弦长，表示面积，即可得出结论．