Question

甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过60千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本与速度v（千米/小时）的平方成正比，已知速度为50千米/小时时每小时可变成本是100元；每小时固定成本为a元．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数并标明定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意，总的运输成本y=每小时的运输成本×时间，而每小时的成本包括固定成本和可变成本，可变成本与速度的平方成正比，先利用待定系数法求出正比例系数，然后再用速度结合路程把时间表示出来，则全程的运输成本即可用速度v表示出来；
（2）由第一问得到了y关于速度v的函数，先利用导数研究其单调性，因为含有参数，所以要进行讨论，讨论的依据就是极值点（增间区间的分界点）与函数定义域的关系，一般分成极值点在区间内，区间左、区间右几种情况讨论．

解答： 解（1）设可变成本=kv²，由已知得100=k•50²，∴k=

1

25

，
∴可变成本=

1

25

v2，全程所用的时间为

s

v

，
∴全程运输成本为y=（a+

1

25

v² ）

s

v

=s（

a

v

+

v

25

），
所求函数及其定义域为y=s（

a

v

+

v

25

），v∈（0，60]．
（2）∵y′=s（

1

25

-

a

v2

）=

v2-25a

25v2

s=

(v+5 a )(v-5 a )

25v2

s，v∈（0，60]
令y′=0得v=-5

a

（舍）或v=5

a

由题意：s，a，v均为正数，
∴当5

a

＜60即0＜a＜144时，
y=s（

a

v

+

v

25

）在（0，5

a

]上单减，在[5

a

，60]上单增
所以当v=5

a

时，全程运输成本y最小．
（或用均值不等式：当5

a

＜60即a＜144时，y=s（

a

v

+

v

25

）≥2s

a 25

，当且仅当

a

v

=

v

25

，即v=5

a

时等号成立）
当5

a

≥60即a≥144时，
当v∈（0，60]时，y′＜0，y=s（

a

v

+

v

25

）在（0，60]上单减，
∴此时当v=60时，全程运输成本y取最小值
综上，当0＜a＜144时，行驶速度v=5

a

千米/小时时全程成本最小，
∴当a≥144时，行驶速度v=60千米/小时时全程成本最小．

点评：这是一道典型的利用导数研究其最值的应用题，一般遵循审题、设、列、解、答几大步，关键是审题过程，先要明确已知与所求，再找寻已知与所求的等量或不等关系，构造方程、函数、或者不等式；本题是一个函数应用题，需要求其最值，常采用导数方法先研究其在定义域内的单调性，然后再求最值；当然根据函数式的特征，也可以用基本不等式求最值，但要注意使用条件，即“一正、二定、三相等”．