【题目】定义在上的函数
满足
,
.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的单调区间;
(3)如果、
、
满足
,那么称
比
更靠近
.当
且
时,试比较
和
哪个更靠近
,并说明理由.
【答案】(1);
(2)当时,函数
的单调递增区间为
;当
时,函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;
(3)比
更靠近
.
【解析】
试题分析:(1)两边求导,可建立关于,
的方程组,求得其值,即可得到解析式;(2)求导,对
的取值进行分类讨论,即可得到结论;(3)设
,
,从而问题等价于
,通过对
的取值范围进行分类讨论,利用求导判断单调性求极值,即可得到结论.
试题解析:(1),∴
,即
,又
,∴
,∴
;(2)∵
,
∴,
∴,①当
时,
,函数
在
上单调递增,②当
时,由
得
,∴
时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增,综上,当
时,函数
的单调递增区间为
;当
时,函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;(3)设
,
,∵
,∴
在
上为减函数,又∵
,
∴当时,
,当
时,
,∵
,
,
∴在
上为增函数,又∵
,∴
时,
,∴
在
上为增函数,∴
,①当
时,
,
设,则
,∴
在
上为减函数,
∴,∵
,∴
,∴
,∴
比
更靠近
,
②当时,
,
设,则
,
,∴
在
时为减函数,
∴,∴
在
时为减函数,∴
,
∴,∴
比
更靠近
,综上:在
,
时,
比
更靠近
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数在
时有最大值
和最小值
,设
.
(1)求实数的值;
(2)若不等式在
上恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若关于的方程
有三个不同的实数解,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知三棱锥(如图一)的平面展开图(如图二)中,四边形
为边长等于
的正方形,
和
均为正三角形,在三棱锥
中:
(I)证明:平面平面
;
(Ⅱ)若点在棱
上运动,当直线
与平面
所成的角最大时,求二面角
的余弦值.
图一
图二
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在直三棱柱侧棱和底面垂直的棱柱
中,平面
侧面
,
,线段AC、
上分别有一点E、F且满足
,
.
求证:
;
求点E到直线
的距离;
求二面角
的平面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100),[100,110),…,[140,150]后得到如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求分数在[120,130)内的频率;
(2)估计本次考试的中位数;
(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至多有1人在分数段[120,130)内的概率.
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【题目】如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗
(吨标准煤)的几组对照数据
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性同归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值)
(附,
,其中
,
为样本均值)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设为非空实数集(至少有两个元素),若对任意
,都有
,且
,则称
为封闭集,则下列四个判断:
①集合为封闭集,则
为无限集; ②集合
为封闭集;
③若集合为封闭集,则
为封闭集; ④若
为封闭集,则一定有
;,
其中正确的命题个数有( ).
A.4个B.3个C.2个D.1个
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