Question

【题目】已知函数，

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)对任意的，，恒有，求正数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）求出函数的导数，进而求得，由点斜式直接写出直线方程.

（2）求出2a+1的范围，可得f（x）在[1，2]递减，由题意可得原不等式即为对任意的a∈[，]，x1，x2∈[1，2]恒成立，令g（x）＝f（x），即有g（x1）＜g（x2），即为g（x）在[1，2]递增，求出g（x）的导数，令导数大于等于0，再由一次函数的单调性可得只需以．

即x3﹣7x2+6x+λ≥0对x∈[1，2]恒成立，令h（x）＝x3﹣7x2+6x+λ，求出导数，求得单调区间和最小值，解不等式即可得到所求范围．

（1），所以，又f(3)=,

所以由点斜式方程可得切线方程为.

（2），

当时，，所以在上为减函数，

不妨设则，等价于

所以，在，上恒成立。

令，则在上为增函数，所以在 上恒成立.

而化简得，

所以，其中

因为，所以

所以只需，即x3﹣7x2+6x+λ≥0对x∈[1，2]恒成立，

令h（x）＝x3﹣7x2+6x+λ，h′（x）＝3x2﹣14x+6≤0在1≤x≤2恒成立，

则有h（x）在[1，2]递减，可得h（2）取得最小值，且为﹣8+λ≥0，

解得λ≥8．

所以.