Question

【题目】数列1，1，3，3，，，…，，是由两个1，两个3，两个，…，两个按从小到大顺序排列，数列各项的和记为，对于给定的自然数，若能从数列中选取一些不同位置的项，使得这些项之和恰等于，便称为一种选项方案，和数为的所有选项方案的种数记为.试求：

的值.

Answer 1

【答案】

【解析】

对每个，易知数列前项之和小于，故形如的项必须从两个中选出，于是选出一个有二种方法，同时选出两个只有一种方法.

对于集合中的每一个数，可将其表成

，

其中.

即为的含有1993位的三进制数形式.

若，，，…，中恰是个为1（其余为0或2），则.

将集合分解为

，

其中中的每个数，在表成上述三进制形式后，数码，，，…，中恰有个为1，因此，数集中共有个数，这时，中各数的值之和为

.

由于集，，，…，两两不交，从而

.

即.

注意到

即数列中每项都不选，其方法数.

故.