Question

【题目】已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：

（I）证明：平面平面；

（Ⅱ）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值.

图一

图二

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

(1)设AC的中点为O,证明PO垂直AC,OB,结合平面与平面垂直判定,即可.(2)建立直角坐标系,分别计算两相交平面的法向量,结合向量的数量积公式,计算夹角,即可.

（Ⅰ）设的中点为，连接，.

由题意，得，

，.

因为在中，，为的中点，

所以，

因为在中，，，，

，所以.

因为，平面，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，平面，

所以是直线与平面所成的角，

且，

所以当最短时，即是的中点时，最大.

由平面，，所以，，于是以

，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，

则，，，，，，

，，.

设平面的法向量为，则

由得：.

令，得，，即.

设平面的法向量为，

由得：，

令，得，，即.

.

由图可知，二面角的余弦值为.