Question

已知函数f（x）=

x-a

ax

，其中a＞0
（1）判断并证明y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）若存在x₀，使f（x₀=x₀），则称x₀为函数f（x）的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求实数a的值，并求出不动点x₀；
（3）若存在x∈[

1

2

，3]使f（x）＞x成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数的表达式进行化简，然后根据函数单调性的定义进行判断；
（2）令x=

x-a

ax

转化为二次函数，根据该函数有且仅有一个不动点，令判别式等于0即可求出a的值；
（3）要存在x∈[

1

2

，3]使f（x）＞x成立，只需f（x）-x的最大值大于0即可，然后利用参变量分离，从而求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=

x-a

ax

=

1

a

-

1

x

，
对任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＞x₂
f（x₁）-f（x₂）=

1

a

-

1

x1

-（

1

a

-

1

x2

）=

x1-x2

x1x2

∵x₁＞x₂＞0
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，函数y=f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．
（2）解：令x=

x-a

ax

⇒ax²-x+a=0，
令△=1-4a²=0解得a=

1

2

（负值舍去）
将a=

1

2

代入ax²-x+a=0得

1

2

x²-x+

1

2

=0解得x₀=1
（3）存在x∈[

1

2

，3]使f（x）＞x成立即存在x∈[

1

2

，3]使f（x）=

x-a

ax

＞x，
即存在x∈[

1

2

，3]使得ax²-x+a＜0即a＜

1

x+ 1 x

∴a＜

1

2

点评：本题主要考查函数单调性的定义和基本不等式的应用．考查计算能力和综合运用能力，属于中档题．