Question

8．已知定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且当x=1时，f（x）取极小值-2．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）＞5mx²-（4m²+3）x（m∈R）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据x=1是函数的极值点以及函数的奇偶性求出函数f（x）的解析式，从而解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为x（x-m）（x-4m）＞0，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知得f（x）为奇函数，且f（0）=0，
∴b=0，d=0，f'（x）=3ax²+c…（2分）
当x=1时，f（x）取极小值，
∴$\left\{\begin{array}{l}3a+c=0\\ a+c=-2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ c=-3\end{array}\right.$…（4分）
∴f'（x）=3x²-3＞0时，f（x）单调递增，
解得x＜-1或x＞1
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-1），（1，+∞）…（6分）
（Ⅱ）x³-3x＞5mx²-（4m²+3）x，
即x（x-m）（x-4m）＞0…（8分）
即m=0时，x³＞0，x＞0…（9分）m＞0时，x＞4m或0＜x＜m；…（10分）
m＜0时，x＞0或4m＜x＜m…（11分）
故当m=0时，所求不等式的解集是{x|x＞0}；
当m＞0时，所求不等式的解集是{x|x＞4m或0＜x＜m}；
当m＜0时，所求不等式的解集是{x|x＞0或4m＜x＜m}…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．