Question

已知f（x）=log_a（a＞0，a≠1），
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）单调性并用定义证明．

Answer 1

解：（1）∵＞0，∴-1＜x＜1，故定义域为（-1，1）．…
（2）∵f（-x）=log_a=log_a（）^-1=-log_a=-f（x），
∴f（x）为奇函数．…
（3）设g（x）=，则f（x）=log_af（x），取-1＜x₁＜x₂＜1，则
g（x₁）-g（x₂）=-=＜0
∴g（x）在x∈（-1，1）为递增函数，…
∴a＞1时，f（x）为递增函数，0＜a＜1时，f（x）为递减函数…
分析：（1）由＞0，求得-1＜x＜1，由此求得函数的定义域．
（2）由于f（-x）=log_a=-log_a=-f（x），可得f（x）为奇函数．
（3）设g（x）=，则f（x）=log_af（x），先由函数的单调性的定义证明g（x）在x∈（-1，1）为递增函数，再根据复合函数的单调性规律求得f（x）的单调性．
点评：本题主要考查对数函数的图象、性质的应用，函数的奇偶性、单调性的判断和证明，属于中档题．