Question

如图，正方体中，点在上运动，给出下列四个命题：   ①三棱锥的体积不变； ②⊥； ③∥平面；           ④平面； 其中正确的命题个数有（    ）                                                                             A．个 B．个 C．个 D．个

Answer 1

C

分析：①V _A-D1PC=V _C-AD1P，C到面 AD₁P的距离不变，且三角形 AD₁P的面积不变．
②，当P 与B重合时，DP与BC₁；成60°角，不垂直．
③连接A₁B，A₁C₁容易证明平面BA₁C₁∥面ACD₁，从而由线面平行的定义可得；
④连接DB₁，容易证明DB₁⊥面ACD₁ ，从而可以证明面面垂直．
解答：解：对于①，V _A-D1PC=V _C-AD1P，C到面 AD₁P的距离不变，且三角形 AD₁P的面积不变．∴三棱锥A-D₁PC的体积不变； 正确；
②连接DB，DC₁，可知△DBC₁是正三角形，当且仅当P为BC₁中点时，DP⊥BC₁，考虑特殊位置，当P 与B重合时，DP与BC₁成60°角，不垂直．
错误
③连接A₁B，A₁C₁容易证明平面BA₁C₁∥面ACD₁，从而由线面平行的定义可得 A₁P∥平面ACD₁；．正确．
④连接DB₁，根据正方体的性质，有DB₁⊥面ACD₁ ，DB₁?平面PDB₁ 从而可以证明平面PDB₁⊥ACD₁；正确．
正确的命题个数有 3个．
故选C．
点评：本题考查三棱锥体积求法中的等体积法；线面平行、垂直，面面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想，及特殊和一般的思想方法．