Question

【题目】如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，为等边三角形，M，N分别是AB，AD的中点，且平面平面ABCD．

证明：平面PNB；

设点E是棱PA上一点，若平面DEM，求．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

（1）推导出BM＝AN，CM⊥BN，PN⊥AD，从而PN⊥平面ABCD，进而CM⊥PN，由此能证明CM⊥平面PNB；

（2）连结AC，交DM于点Q，连结EQ，推导出PC∥EQ，从而PE：EA＝CQ：QA，由此能求出的值．

证明：（1）在正方形ABCD中，M，N分别是AB，AD的中点，

∴BM＝AN，BC＝AB，∠MBC＝∠NAB＝90°，

∴△MBC≌△NAB，∴∠BCM＝∠NAB，

又∠NBA+∠BMC＝90°，∴∠NBA+∠BMC＝90°，

∴CM⊥BN，

∵△PAD为等边三角形，N是AD的中点，

∴PN⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，PN平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PN⊥平面ABCD，

又CM平面ABCD，∴CM⊥PN，

∵BN，PN平面PNB，BN∩PN＝N，

∴CM⊥平面PNB．

解：（2）连结AC，交DM于点Q，连结EQ，

∵PC∥平面DEM，PC平面PAC，平面PAC∩平面DEM＝EQ，

∴PC∥EQ，

∴PE：EA＝CQ：QA，

在正方形ABCD中，AM∥CD，且CD＝2AM，

∴CQ：QA＝CD：AM＝2，

∴2．