Question

【题目】设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=3，an+1=2Sn+3（n∈N） （I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=（2n﹣1）an ， 求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵an+1=2Sn+3，∴当n≥2时，an=2Sn﹣1+3， ∴an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an ， 化为an+1=3an ．
∴数列{an}是等比数列，首项为3，公比为3．
∴an=3n ．
（II）bn=（2n﹣1）an=（2n﹣1）3n ，
∴数列{bn}的前n项和Tn=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）3n ，
3Tn=32+3×33+…+（2n﹣3）3n+（2n﹣1）3n+1 ，
∴﹣2Tn=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）3n+1= ﹣3﹣（2n﹣1）3n+1=（2﹣2n）3n+1﹣6，
∴Tn=（n﹣1）3n+1+3
【解析】（I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”与等比数列的其前n项和公式即可得出．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．