Question

已知函数f(x)=lnx，g(x)=

2a2

x2

(a＞0)，设F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求F（x）的单调区间；
（2）若以H(x)=f(x)+

2g(x)

，图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤1恒成立，求实数a的最小值；
（3）是否存在实数m，使得函数p(x)=g(

4a2 x2+1

)+m-1的图象与q（x）=f（1+x²）的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先由f（x）和g（x）构造得到F（x）的解析式，利用导数大于0得增区间，小于0得减区间．
（2） 切线的斜率k≤1恒成立即导数小于等于1恒成立，从而建立起a与x的关系式，利用恒成立求得a．
 （3）p（x）与q（x）的图象有四个不同的交点转化成方程有四个不同的根，分离出m后，转化成新函数的最大值和最小值．

解答：解．（1）F(x)=f(x)+g(x)=lnx+

a2

x2

(x＞0)
F′(x)=

1

x

-

4a2

x3

=

x2-4a2

x3

(x＞0)
∵a＞0，由F'（x）＞0?x∈（2a，+∞），
由F'（x）＜0?x∈（0，2a）．
∴F（x）的单调递减区间为（0，2a），
单调递增区间为（2a，+∞）
（2）H(x)=f(x)+

2g(x)

=lnx+

2a

x

，
H′(x)=

1

x

-

2a

x2

≤1(x＞0)，
则2a≥-x2+x，又-x2+x≤

1

4

，故2a≥

1

4

，a≥

1

8

，
所以实数a的最小值为

1

8

．
（3）若p(x)=g(

4a2 x2+1

)+m-1=

1

2

x2+m-

1

2

的图象
与q（x）=f（1+x²）=ln（x²+1）的图象恰有四个不同交点，
即

1

2

x2+m-

1

2

=ln(x2+1)有四个不同的根，
亦即m=ln(x2+1)-

1

2

x2+

1

2

有四个不同的根．
令G(x)=ln(x2+1)-

1

2

x2+

1

2

，
则G′(x)=

2x

x2+1

-x=

2x-x3-x

x2+1

=

-x(x+1)(x-1)

x2+1

．
当x变化时G'（x）．G（x）的变化情况如下表：

由表格知：G(0)=

1

2

，G(1)=G(-1)=ln2＞0．
又因为G(2)=G(-2)=ln5-2+

1

2

＜

1

2

可知，当m∈(

1

2

，ln2)时，
方程m=ln(x2+1)-

1

2

x2+

1

2

有四个不同的解．
∴当m∈(

1

2

，ln2)时，y=g(

2a

x2+1

)+m-1=

1

2

x2+m-

1

2

的图象与
y=f（1+x²）=ln（x²+1）的图象恰有四个不同的交点．

点评：本题是个难题，主要考查了导数在函数单调性和最值中的应用，同时考查了导数的几何意义和恒成立问题．
注意函数的定义域，分离参数在解决恒成立问题中的应用．