Question

9．已知二次函数t满足f（0）=f（2）=2，f（1）=1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，2]时，求y=f（x）的值域；
（3）设h（x）=f（x）-mx在[1，3]上是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可设f（x）=a（x-1）²+1，代值计算即可，
（2）根据二次函数的图象和性质求解即可；
（3）根据题意可知对称轴不在区间内即可．

解答 解：（1）由题意可设f（x）=a（x-1）²+1，因为f（0）=2，所以a•（0-1）²+1=2，
解得：a=1，即f（x）=（x-1）²+1．
（2）因为x∈[-1，2]，f（x）在[-1，1]为减函数，f（x）在[1，2]为增函数．
当x=1时，y_min=1．
当x=-1时，y_max=5．所以y=f（x）的值域是[1，5]，
（3）因为h（x）=f（x）-mx=x²-（m+2）x+2在[1，3]上是单调函数，
所以 $\frac{m+2}{2}≤1$或$\frac{m+2}{2}≥3$，即m≤0或m≥4．
综上：当m≤0或m≥4，h（x）=f（x）-mx在[1，3]上是单调函数．

点评 本题主要考查二次函数的性质，用待定系数法求函数的解析式，属于基础题．