Question

【题目】设首项为a1的正项数列{an}的前n项和为Sn，q为非零常数，已知对任意正整数n，m，Sn+m＝Sm+qmSn总成立．

（1）求证：数列{an}是等比数列；

（2）若不等的正整数m，k，h成等差数列，试比较ammahh与ak2k的大小；

（3）若不等的正整数m，k，h成等比数列，试比较与的大小．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）令n＝m＝1，得a2＝qa1，令m＝1，得Sn+1＝S1+qSn（1），从而Sn+2＝S1+qSn+1两式相减即可得出an+2＝qan+1，进而可判断出数列{an}是等比数列

（2）根据m，k，h成等差数列，可知m+h＝2k，进而可判定，进而根据等比数列的通项公式分q大于、等于和小于1三种情况判断．

（3）正整数m，k，h成等比数列，则mh＝k2，判断出，进而根据等差根据等比数列的通项公式分a1和q大于、等于和小于1三种情况判断．

（1）证：因为对任意正整数n，m，Sn+m＝Sm+qmSn总成立，

令n＝m＝1，得S2＝S1+qS1，则a2＝qa1

令m＝1，得Sn+1＝S1+qSn（1），从而Sn+2＝S1+qSn+1（2），

（2）﹣（1）得an+2＝qan+1，（n≥1）

综上得an+1＝qan（n≥1），所以数列{an}是等比数列

（2）正整数m，k，h成等差数列，

则m+h＝2k，

所以，

则

①当q＝1时，ammahh＝a12k＝ak2k

②当q＞1时，

③当0＜q＜1时，

（3）正整数m，k，h成等比数列，则mh＝k2，则，

所以，

①当a1＝q，即时，

②当a1＞q，即时，

③当a1＜q，即时，