【题目】如图,在三棱锥中,
是正三角形,
为其中心.面
面
,
,
,
是
的中点,
.
(1)证明:面
;
(2)求与面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:
(1)连结,由重心的性质可得在
中有
,则
,结合线面平行的判定定理可得
平面
.
(2)解法一:作
交
的延长线于
,作
交
的延长线于
,由题意可得
为
与面
所成角,
.
解法二:以中点为原点,建立空间直角坐标系.可得
,面
的法向量为
,则所求角的正弦值
.
试题解析:
(1)连结,因为
是正三角形
的中心,所以
在
上且
,又
,所以在
中有
,
所以,又
平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)解法一:作
交
的延长线于
,作
交
的延长线于
,
由面面
知
面
,所以
,又
,所以
所以面
,所以面
面
,作
,则
面
连结,则
为
与面
所成角,
∴,即所求角的正弦值为
.
解法二:以中点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
∵,
∴,
,
,
,
∴,
,
,
.
设面的法向量为
,则
取,
∴,即所求角的正弦值为
.
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【题目】在正方体中,
在线段
上运动且不与
,
重合,给出下列结论:
①;
②平面
;
③二面角的大小随
点的运动而变化;
④三棱锥在平面
上的投影的面积与在平面
上的投影的面积之比随
点的运动而变化;
其中正确的是( )
A. ①③④ B. ①③
C. ①②④ D. ①②
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【题目】将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图, 弧AC 长为 ,弧A1B1 长为
,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.
(1)求圆柱的体积与侧面积;
(2)求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.
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【题目】某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数X的分布列为
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
P | 0.4 | 0.2 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.Y表示经销一件该商品的利润.
(1)求事件:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);
(2)求Y的分布列及E(Y).
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【题目】已知 R,函数
=
.
(1)当 时,解不等式
>1;
(2)若关于 的方程
+
=0的解集中恰有一个元素,求
的值;
(3)设 >0,若对任意
,函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过1,求
的取值范围.
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【题目】如图,在海岸处发现北偏东
方向,距
处
海里的
处有一艘走私船,在
处北偏西
方向,距
处
海里的
处的我方辑私船奉命以
海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以
海里/小时的速度,以
处向北偏东
方向逃窜.问:辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.
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【题目】下列四个类比中,正确的个数为
(1)若一个偶函数在R上可导,则该函数的导函数为奇函数。将此结论类比到奇函数的结论为:若一个奇函数在R上可导,则该函数的导函数为偶函数。
(2)若双曲线的焦距是实轴长的2倍,则此双曲线的离心率为2.将此结论类比到椭圆的结论为:若椭圆的焦距是实轴长的一半,则此椭圆的离心率为.
(3)若一个等差数列的前3项和为1,则该数列的第2项为.将此结论类比到等比数列的结论为:若一个等比数列的前3项积为1,则该数列的第2项为1
(4)在平面上,若两个正三角形的边长比为1:2,则它们的面积比为1:4.将此结论类比到空间中的结论为:在空间中,若两个正四面体的棱长比为1:2,则它们的体积比为1:8.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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