Question

【题目】已知 R，函数 = ．
（1）当 时，解不等式 ＞1；
（2）若关于 的方程 + =0的解集中恰有一个元素，求 的值；
（3）设 ＞0，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过1，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由 ，得 ，解得

（2）

解： 有且仅有一解，

等价于 有且仅有一解，等价于 有且仅有一解．

当 时， ，符合题意；

当 时， ， ．

综上， 或 ．

（3）

解：当 时， ， ，

所以 在 上单调递减．

函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ， ．

即 ，对任意 成立．

因为 ，所以函数 在区间 上单调递增，

所以 时， 有最小值 ，由 ，得 ．

故 的取值范围为

【解析】（1）由 ，利用得 求解．（2）转化得到 ，讨论当 、 时的情况．（3）讨论 在 上单调递减．确定函数 在区间 上的最大值与最小值之差．得到 ，对任意 成立．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最值及其几何意义的相关知识，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值，以及对指、对数不等式的解法的理解，了解指数不等式的解法规律：根据指数函数的性质转化;对数不等式的解法规律：根据对数函数的性质转化．